Fórmulas

El método de la transformada inversa es una forma de generar números aleatorios que provengan de una distribución de probabilidad dada su función de distribución acumulada (fdc). Este método está sujeto a la restricción de que la distribución sea contínua, y es fácil de implementar si la fdc puede ser invertida analíticamente.

Si $\[X\]$ es una variable aleatoria contínua, con función de distribución acumulada $\[F\]$, y $\[Y=F(X)\]$; entonces $\[Y\]$ tiene una distribución uniforme en [0,1]. El método de la transformada inversa es el proceso inverso de lo anterior: Especificamente, si $\[Y\sim U(0,1)\]$ y $\[X\]$ se define como $\[X=F^{-1}(Y)\]$, entonces $\[X\]$ se distribuye en $\[F\]$.

El algoritmo Ziggurat ofrece otra manera de generar números aleatorios a partir de una distribución no uniforme.

En lo siguiente, la letra $\[U\]$ significará una variable aleatoria estándar; es decir, $\[U=Y\sim U(0,1)\]$

Uniforme Contínua

demostración

(1)

\begin{align} \[X=U\left ( Max-Min \right )+Min\] \end{align}

Uniforme Discreta

demostración

(2)

\begin{align} \[X=\left \lfloor U\left ( Max-Min+1 \right )+Min \right \rfloor\] \end{align}

Triangular

demostración

(3)

\begin{align} \[\begin{align*} \frac{Moda-Min}{Max-Min} &=\text{Punto de Infleccion}=I \\ \\ U\leq I \Rightarrow X &=Min+\sqrt{U(Max-Min)(Moda-Min)} \\ \\ U> I \Rightarrow X &=Max-\sqrt{(1-U)(Max-Min)(Max-Moda)} \end{align*}\] \end{align}

Exponencial

demostración

(4)

\begin{align} \[X=\frac{-\ln (1-U)}{\lambda }\] \end{align}

Bernoulli

demostración

(5)

\begin{align} \[X=\left \lfloor (1-U)+\Pr (X=1) \right \rfloor\] \end{align}

Normal

demostración

Primero se utiliza el algoritmo Box-Muller para generar dos aleatorios normales estándar. Para esto se requiere de dos aleatorios estándar:

(6)

\begin{align} \[\begin{align*} X &=\sqrt{-2\ln U_{1}}\cos (2\pi U_{2}) \\ Y &=\sqrt{-2\ln U_{1}}\sin (2\pi U_{2}) \end{align*}\] \end{align}

Note que tanto para $\[X\]$ como para $\[Y\]$ se utilizan el mismo par de aleatorios $\[U\]$. Luego se desnormalizan los aleatorios normales estándar obtenidos en (6) para obtener los aleatorios normales con media $\[\mu \]$ y varianza $\[\sigma ^{2}\]$, como se muestra en (7):

(7)

\begin{align} \[\begin{align*} Z_{1} &=X\sigma +\mu \\ Z_{2} &=Y\sigma +\mu \end{align*}\] \end{align}

Con este método se obtienen dos aleatorios normales independientes.

Lognormal

demostración

Primero se determina la media logarítmica $\[\mu _{log}$ y la desviación estándar logarítmica $\[\sigma _{log}$, en base a la media $\[\mu \]$ y desviación estándar $\[\sigma \]$ dada:

(8)

\begin{align} \[\begin{align*} \mu _{log} &=\ln \mu -\frac{1}{2}\ln \left ( 1+\left ( \frac{\sigma }{\mu } \right )^{2} \right ) \\ \sigma _{log} &=\sqrt{\ln \left ( 1+\left ( \frac{\sigma }{\mu } \right )^{2} \right )} \end{align*}\] \end{align}

Luego se utiliza el algoritmo Box-Muller para generar aleatorios normales estándar, como se muestra en (6). Una vez obtenidos los aleatorios $\[X\]$ y $\[Y\]$, estos se desnormalizan como se muestra en (7); pero ahora se utiliza la media logarítmica $\[\mu _{log}$ y la desviación estándar logarítmica $\[\sigma _{log}$ obtenidad en (8), como se muestra en (9):

(9)

\begin{align} \[\begin{align*} Z_{1} &=X\sigma _{log}+\mu _{log} \\ Z_{2} &=Y\sigma _{log}+\mu _{log} \end{align*}\] \end{align}

Finalmente se utiliza la definición de una variable lognormal para generar el aleatorio, esto es:

(10)

\begin{align} \[\begin{align*} L_{1} &=e^{Z_{1}} =\exp (Z_{1}) \\ L_{2} &=e^{Z_{2}} =\exp (Z_{2}) \end{align*}\] \end{align}

Como este método hace uso del algoritmo Box-Muller, se obtienen dos aleatorios lognormales independientes.