Triangular (transformada inversa)

regresar a fórmulas

Función de densidad de probabilidad

(1)
\begin{align} \[f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{2(x-min)}{(max-min)(moda-min)} & \text{para}\ min\leq x\leq moda\\ \\ \frac{2(max-x)}{(max-min)(max-moda)} & \text{para}\ moda\leq x\leq max\\ \\ 0 & \ \ \ \ \text{para}\ x< min\vee x> max \end{matrix}\right.\] \end{align}

Función de probabilidad acumulada

(2)
\begin{align} \[\int f(x)dx=F(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{(x-min)^2}{(max-min)(moda-min)} & \text{para}\ min\leq x\leq moda\\ \\ 1-\frac{(max-x)^2}{(max-min)(max-moda)} & \text{para}\ moda\leq x\leq max\\ \\ \end{matrix}\right.\] \end{align}

Transformación

Recordando que el área bajo la curva de una función de densidad de probabilidad debe sumar 1, y que el área de un triángulo está determinada como base por altura entre 2, se puede obtener la altura del triángulo como:

(3)
\begin{align} \[1=\frac{B\times H}{2}=\frac{(max-min)\times H}{2}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ H=\frac{2}{max-min}\] \end{align}

Ahora se debe determinar el área correspondiente a ciertos valores de la distribución, y los valores de la distribución correspondientes a áreas especificas bajo la curva. Como los lados de triángulos congruentes siempre son proporcionales, el área de una parte de la distribución puede ser determinada al encontrar las longitudes de los lados del triángulo correspondiente (la moda define dos subtriángulos).

triangulo1.png

Comenzando con el lado izquierdo, se toma un punto $\[X\]$ para determinar la probabilidad acumulada hasta ese valor. Es obvio que la base del triángulo definido en el punto $\[X\]$ es $\[(X-min)\]$. La altura $\[H_{x}\]$ se determinará escalando la altura del subtriángulo izquierdo de la distribución:

(4)
\begin{align} \[\begin{align*} \frac{H_{x}}{X-min} &=\frac{H}{moda-min} \\ \\ &=\frac{2/(max-min)}{moda-min} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{sustitucion}\\ \\ &=\frac{2}{(max-min)(moda-min)} \ \ \ \ \text{por doble C} \\ \\ H_{x} &=\frac{2(X-min)}{(max-min)(moda-min)} \end{align*}\] \end{align}

Ahora, como ya se tiene la altura del triángulo definido en el punto $\[X\]$, se multiplica por la base y se divide entre 2 para obtener el área (probabilidad acumulada):

(5)
\begin{align} \[\begin{align*} Area = \Pr (X<x) &=\frac{(X-min)\times \frac{2(X-min)}{(max-min)(moda-min)}}{2} \\ \\ &=\frac{2(X-min)(X-min)}{2(max-min)(moda-min)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{por doble C} \\ \\ &=\frac{(X-min)^2}{(max-min)(moda-min)} \end{align*}\] \end{align}

En (5) se muestra como se obtiene la primera fórmula de la fdc, es decir, la probabilidad acumulada cuando $\[X\]$ se encuentra entre el mínimo y la moda (inclusives).

triangulo2.png

Para calcular la probabilidad acumulada cuando $\[X\]$ está por encima de la moda, se trabaja con la probabilidad complementaria; es decir, se calcula el área del triángulo definido por $\[X\]$, y esta área es restada del área total del triángulo - la cual es 1.

(6)
\begin{align} \[\begin{align*} \frac{H_{x}}{max-X} &=\frac{H}{max-moda} \\ \\ &=\frac{2/(max-min)}{max-moda} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{sustitucion}\\ \\ &=\frac{2}{(max-min)(max-moda)} \ \ \ \ \text{por doble C} \\ \\ H_{x} &=\frac{2(max-X)}{(max-min)(max-moda)} \end{align*}\] \end{align}


(7)
\begin{align} \[\begin{align*} Area = \Pr (X>x) &=\frac{(max-X)\times \frac{2(max-X)}{(max-min)(max-moda)}}{2} \\ \\ &=\frac{2(max-X)(max-X)}{2(max-min)(max-moda)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{por doble C} \\ \\ &=\frac{(max-X)^2}{(max-min)(max-moda)} \end{align*}\] \end{align}
triangulo3.png
(8)
\begin{align} \[\begin{align*} Area = \Pr (X<x) &=1-\Pr (X>x) \\ \\ &=1-\frac{(max-X)^2}{(max-min)(max-moda)} \end{align*}\] \end{align}

En (8) se muestra como se obtiene la segunda fórmula de la fdc, es decir, la probabilidad acumulada cuando $\[X\]$ se encuentra entre la moda y el máximo.

Ahora se debe determinar cual fórmula utilizar, en la transformada inversa, ya que los cálculos difieren a ambos lados de la moda. Para ello se determina en que lado de la distribución caerá el aleatorio $\[U\]$. Note que las áreas de los subtriángulos son proporcionales a sus respectivas bases, de manera que si $\[U\leq \frac{moda-min}{max-min}\]$, entonces $\[U\]$ corresponde al lado izquierdo de la distribución, de lo contrario corresponde al lado derecho. De esta manera se obtiene:

(9)
\begin{align} \frac{moda-min}{max-min}=\text{Punto de Infleccion}=I \end{align}


(10)
\begin{align} \[\begin{align*} U\leq I \Rightarrow \frac{(X-min)^2}{(max-min)(moda-min)} &=U \\ \\ X &=min+\sqrt{U(max-min)(moda-min)} \end{align*}\] \end{align}


(11)
\begin{align} \[\begin{align*} U> I \Rightarrow 1-\frac{(max-X)^2}{(max-min)(max-moda)} &=U \\ \\ X &=max-\sqrt{(1-U)(max-min)(max-moda)} \end{align*}\] \end{align}

regresar a fórmulas

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License