Uniforme Discreta (intuitivamente)

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Función de masa de probabilidad

(1)
\begin{align} \[f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{max-min+1} & \ \ \text{para}\ min\leq x\leq max \\ \\ 0 & \text{cualquier otro caso}\ \end{matrix}\right.\] \end{align}

Función de probabilidad acumulada

(2)
\begin{align} \[\sum_{x_{i}\leq x} p(x_{i})=F(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \text{para}\ x<min\\ \\ \frac{\left \lfloor x \right \rfloor -min+1}{max-min+1} & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{para}\ min\leq x\leq max\\ \\ 1 & \ \text{para}\ x> max \end{matrix}\right.\] \end{align}

Transformación

(3)
\begin{align} \[\begin{align*} \frac{Y-min+1}{max-min+1} &=U \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3.1) \\ \\ Y &=U(max-min+1)+min-1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3.2) \\ \\ X-1 &=U(max-min+1)+min-1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3.3) \\ \\ \left \lceil X-1 \right \rceil &=\left \lceil U(max-min+1)+min-1 \right \rceil \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3.4) \\ \\ \left \lfloor X-1 \right \rfloor +1 &=\left \lfloor U(max-min+1)+min-1 \right \rfloor +1 \ \ \ \ \ \ (3.5) \\ \\ \left \lfloor X \right \rfloor &=\left \lfloor U(max-min+1)+min \right \rfloor \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3.6) \\ \\ \end{align*}\] \end{align}

Explicación:

Comenzando con (3.1), se hace un despeje algebraico para llegar a (3.2). Ahora tome en cuenta los siguiente: Si $\[U_{1}\]$ es la probabilidad acumulada de la variable uniforme discreta $\[Y_{1}\]$, y $\[U_{2}\]$ es la probabilidad acumulada de la variable uniforme discreta $\[Y_{2}\]$; entonces toda $\[U_{i}\]$ distribuida en $\[[0,1]\]$ que cumpla con la condición $\[U_{1}< U_{i}\leq U_{2}\]$ debe ser transformada a la variable $\[Y_{2}\]$; es decir, $\[Y_{i}\]$ cumple con $\[Y_{1}<Y_{i}\leq Y_{2}\]$, por lo que $\[Y_{i}\]$ se redondea a $\[Y_{2}\]$. Para ello solo basta aplicar la fórmula en (3.2) y redondear el resultado hacia el entero inmediatamente igual o superior (redondeo a cero decimales).

Sin embargo, fijese que el lado derecho de (3.2) es exactamente igual al lado derecho de (3.3). La diferencia es que ahora hacemos la sustitución $\[Y=X-1\]$ en el lado izquierdo (la sustitución únicamente dice que $\[Y\]$ es una unidad menor que $\[X\]$, por lo que la igualdad sigue siendo válida). Ahora se aplica la función techo para hacer el redondeo hacia el entero inmediatamente igual o superior, como se muestra en (3.4).

Debe ser evidente que redondear hacia el entero inmediatamente igual o superior es lo mismo que redondear hacia el entero inmediatamente inferior y sumar 1 (note la falta de una palabra). Esto es lo que ocurre en (3.5), por medio de la función piso. Ahora se suma 1 al argumento de la función piso en ambos lados de la ecuación (3.5), a la vez que se resta 1 en ambos lados de la misma ecuación; para asi obtener (3.6).

En (3.6) se puede observar dos cosas.

Lo primero es algo lógico: Redondear $\[Y\]$ hacia arriba es lo mismo que tomar el número superior a $\[Y\]$ en una unidad y redondear hacia abajo; es decir, $\[Y=X-1\Rightarrow X=Y+1\Rightarrow \left \lceil Y \right \rceil=\left \lfloor X \right \rfloor\]$. Pero esto es válido solamente cuando $\[Y\neq \mathbb{Z}\Rightarrow Y+1=X\neq \mathbb{Z}\]$. Si $\[Y\]$ fuese un número entero, $\[X\]$ también sería entero, y $\[\left \lceil Y \right \rceil \neq \left \lfloor X \right \rfloor\]$ en exactamente una unidad. Sin embargo, si el generador de números pseudoaleatorios con el que se genera $\[U(0,1)\]$ es lo suficientemente robusto, el chance de obtener $\[U_{i}\]$ exactamente igual a la probabilidad de ocurrencia de $\[Y_{i}= \mathbb{Z}\]$ es tan bajo, que el efecto es prácticamente nulo.

De lo anterior se desprende la segunda observación, y la razón por la cual se deriva esta fórmula utilizando la función piso y no se utiliza (3.4); es decir, no se aplica la función techo sobre (3.2) para ser utilizada como fórmula de transformación. Cuando $\[U=0\]$, (3.6) retorna el valor mínimo pero (3.4) retorna el mínimo menos una unidad. Cuando $\[U=1\]$ ocurre lo contrario, (3.6) retorna el valor máximo más una unidad pero (3.4) retorna el máximo. Los generadores de números pseudoaleatorios no retornan exactamente 0 y 1, solo valores lo suficientemente cercanos a estos extremos. Desde un punto de vista numérico, se puede considerar el efecto de 0,0…01 como el mismo efecto de 0, mientras que el efecto de 0,9…99 no se considera el mismo efecto de 1 - por ello la notación $\[[0,1)\]$.

Si se utilizara (3.4), se tendría que sumar 1 al resultado para ajustar el error; lo cual no tiene sentido al poder utilizar la forma más simple mostrada en (3.6). Adicionalmente, la función piso es implementada en toda clase de programas computacionales, mientras que la función techo solo la implementan algunos pocos.

NOTA:

Función techo = $\[\left \lceil x \right \rceil\]$ = Retorna el entero más pequeño no menor que x (redondea hacia el entero inmediatamente igual o mayor que x).
Función piso = $\[\left \lfloor x \right \rfloor\]$ = Retorna el entero más grande no mayor que x (redondea hacia el entero inmediatamente igual o menor que x).

Explicación simplificada:

Una vez entendida la explicación anterior, se puede entender la siguiente explicación (note la diferencia con el primer párrafo, se cambia la palabra "distribuida" por la palabra "generada", la notación del rango, y el orden de las desigualdades).

Comenzando con (3.1), se hace un despeje algebraico para llegar a (3.2). Ahora tome en cuenta los siguiente: Si $\[U_{1}\]$ es la probabilidad acumulada de la variable uniforme discreta $\[Y_{1}\]$, y $\[U_{2}\]$ es la probabilidad acumulada de la variable uniforme discreta $\[Y_{2}\]$; entonces toda $\[U_{i}\]$ generada en $\[[0,1)\]$ que cumpla con la condición $\[U_{1}\leq U_{i}< U_{2}\]$ debe ser transformada a la variable $\[Y_{1}\]$; es decir, $\[Y_{i}\]$ cumple con $\[Y_{1}\leq Y_{i}< Y_{2}\]$, por lo que $\[Y_{i}\]$ se redondea a $\[Y_{1}\]$. Para ello solo basta aplicar la fórmula en (3.2) y redondear el resultado hacia el entero inmediatamente igual o menor (redondeo a cero decimales).

Antes de redondear se puede “pasar” a la izquierda la unidad que se encuentra restando a la derecha de la ecuación, o dicho de otra manera, la ecuación (3.1) no se despeja en su totalidad. Asi, al aplicar la función piso se obtiene $\[\left \lfloor Y+1 \right \rfloor =\left \lfloor U(max-min+1)+min \right \rfloor =\left \lfloor X \right \rfloor \]$.

  • ¿Por qué la fdc plantea $\[\left \lfloor X \right \rfloor\]$, y la transformación comienza con $\[Y=X-1\]$ para llegar a $\[\left \lfloor X \right \rfloor\]$?

Fijese que la fdc es una fracción, donde en el númerador y en el denomidador se suma 1. Esto se hace por el efecto que tiene la discrecionalidad de la variable. El numerador $\[\left \lfloor X \right \rfloor -min+1\]$ representa el orden de la variable (1ra, 2da, 3ra, …, N-esima), mientras que el denominador $\[max-min+1\]$ representa la longitud del rango.

La longitud del rango de una variable contínua se define como $\[max-min\]$. Ahora fijese en la siguiente gráfica donde se muestra la distribución teórica de las caras de un dado.

dist_teo_1dado.PNG

Al intentar calcular la longitud del rango de la distribución de una variable uniforme discreta, se perdería una unidad. En el caso de un dado el resultado seria $\[max-min=6-1=5\]$. Una vez más, este es el efecto de la discrecionalidad. En la gráfica se puede observar claramente que son 6 unidades las que componen la longitud de la distribución de un dado; aún asi, el cálculo de la longitud resulta en 5, es decir, una unidad menos. Por ello se suma 1. Una situación similar ocurre con el orden de la variable, por lo que también se debe sumar 1 en el numerador. A esta última razon es que se debe la sustitución $\[Y=X-1\]$ al inicio de la transformación.

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